On an Approach to Smoothing the Nonsmoothness of Solutions of Boundary Value Problems Using Numerical Quasiconformal Mapping Methods

Abstract

Сформульовано задачу моделювання руху частинок (заря-дів, рідини тощо) в однозв’язній чотирикутній криволінійній області, обмеженій гладкими двома лініями течії та двома ек-віпотенціальними лініями. При цьому, якщо останні «стику-ються» не під прямим кутом і відповідне середовище є ізотро-пним, то, згідно методу квазіконформних відображень, мати-муть місце сингулярності в околах рівно чотирьох точок гра-ниці. З метою уникнення даних особливостей, запропоновано підхід до апроксимації межі досліджуваної області (кубічними бісплайнами) із застосуванням спеціально розробленої проце-дури «фіктивної ортогоналізації». Сформульовано відповідну пряму та обернену задачі на квазіконформні відображення. При цьому, пропонуються (для порівняння) два способи фор-мування ортогональності на гладких ділянках границі (за до-помогою деяких «дво-» та «п’ятиточкової» схем; наведено ві-дповідні різницеві задачі та алгоритми їх розв’язання). Запро-поновано підхід до оцінки точності виконання властивостей квазіконформності, окремо обчислюючи усереднені нев’язку ортогональності та узагальнену нев’язку відношення довжин суміжних відрізків в малому. Проведено числові експерименти та здійснено їх аналіз. Зокрема, розподіли обох видів нев’язок і кількість вузлів, в яких мають місце особливості при різних розбиттях сіток, проілюстровано на графіках. Як і очікувалось, «фіктивна ортогоналізація» при достатньо «густій»дискрети-зації забезпечує можливість вирішення проблеми сингулярно-сті у точках «стику» граничних ліній течії та еквіпотенціаль-них ліній, сприяє підвищенню точності квазіконформних відо-бражень та збільшенню «прозорості» ходу розв’язання відпо-відної задачі. Також, як і очікувалось, «п’ятиточкова» схема «забезпечення ортогональності» на гладких лініях границі, по-казала більшу ефективність в порівнянні з «двоточковою».У якості перспективи подальшого застосування розробле-ної процедури «фіктивної ортогоналізації» описано механізм її адаптації на прикладі задач електричної томографії.