Erdős-McKay猜想的二分版本

Combinatorics, Probability and Computing Pub Date : 2022-12-09 DOI:10.1017/s0963548322000347

Eoin Long, Laurenţiu Ploscaru

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摘要

Erdős和McKay的一个老猜想指出，如果一个$n$顶点图中的所有齐次集合都是$O(\!\log n)$阶的，那么这个图包含来自$\{0,1,\ldots, \Omega \big(n^2\big)\}$的各种大小的诱导子图。我们证明了这个猜想的一个二部类比:如果一个$n \times n$二部图中所有的平衡齐次集合都是$O(\!\log n)$阶的，那么这个图包含来自$\{0,1,\ldots, \Omega \big(n^2\big)\}$的每个大小的诱导子图。

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A bipartite version of the Erdős–McKay conjecture

An old conjecture of Erdős and McKay states that if all homogeneous sets in an $n$ -vertex graph are of order $O(\!\log n)$ then the graph contains induced subgraphs of each size from $\{0,1,\ldots, \Omega \big(n^2\big)\}$ . We prove a bipartite analogue of the conjecture: if all balanced homogeneous sets in an $n \times n$ bipartite graph are of order $O(\!\log n)$ , then the graph contains induced subgraphs of each size from $\{0,1,\ldots, \Omega \big(n^2\big)\}$ .