Моменти Ерміта зображень та їхні інваріанти

Хай H ‒ підгрупа афінної групи площини Aff(2,ℝ), яка розглядається разом з своєю природною дією на інтегровні функції від двох змінних визначені в деякій області Ω ⊆ ℝ2. Для фіксованої сім'ї многочленів {Pm,n(x,y)}∞n,n=0 розглянемо функціонал πm,n=πm,n(f)=∬Ω Pm,n(x,y)f(x,y) dxdy, який називається P-моментом функції f(x,y) порядку m+n. Дія групи H продовжується на P-моменти за формулою hπm,n(f)=πm,n(h-1f)=∬Ω Pm,n(x,y)f(h-1(x,y)) dxdy, h ∈ H. Інваріанти цієї дії називаються P-моментними інваріантами. Якщо функцію f(x,y) ототожнити з напівтоновим зображенням, а за групу H взяти групи обертань, групу розтягів або групу паралельних перенесень площини, то відповідні моменти зображень та їхні моментні інваріанти широко використовуються в теорії розпізнавання образів. Задача задовільного опису моментних інваріантів задовільно розв'язана лише у найпростішому випадку Pm,n(x,y)=xmyn. В даній статті, для пари бі-ортогональних сімей многочленів Ерміта, задачу знаходження моментних інваріантів зведено до задачі розв'язання деякого диференціального рівняння в частинних похідних першого порядку, яке виникає при переході від дії групи Лі до дії її алгебри Лі. Для кожної із згаданих груп знайдено явний вигляд дії її алгебри Лі на моменти Ерміта і вказані явно моментні інваріанти невеликих.