Method of Rational Modification of Iterative Algorithms of Numerical Solution in Nonlineary Integral Equations

Abstract

Ітераційні методи розв’язування інтегральних рівнянь є потужним інструментом для теоретичних досліджень і прак-тичних розрахунків.Особливість ітераційних методів полягає в простоті обчислювальних алгоритмів, що має істотне зна-чення у процесі комп’ютерної реалізації. Недоліки цього класу методів полягають у проблемі збіжності, а саме ітераційний процес повинен бути збіжним, а швидкість збіжності—висо-кою, що притаманно при чисельному розв'язуванню неліній-них інтегральних рівнянь.У статті розглянуто спосіб використання комбінації методу Ньютона-Канторовича і квадратурних формул, що дає змогу отримати високоточний чисельний алгоритм для розв’язування нелінійних інтегральних рівнянь Фредгольма II роду. Наведено результати розв’язування тестового прикладу, які свідчать про ефективність та високу точність методу. Розглянуто можливість використання алгоритму розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь на основі методу послідовних наближень при інтерполя-ції ядра кубічним сплайном. Недоліком наведених методів при комп'ютерній реалізації є проблема вибору «кращого» початково-го наближення, що, у свою чергу, прискорює збіжність методу і тим самим зменшує накопичення похибки.Розглянутий у статті спосіб модернізації ітераційних алго-ритмів чисельного розв'язування нелінійних інтегральних рів-нянь дозволяє визначити «краще» початкове наближення, що дає змогу збільшити швидкість збіжності ітераційного процесу вихідного методу. Результати обчислювальних експериментів при розв'язуванні інтегрального рівняння Фредгольма IІ роду підтверджують ефективність застосування модернізованого алгоритму на основі методу простих ітерацій із попередньою оптимізацією початкового наближення.