Calcul des valeurs propres

Abstract

Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de matrices est un des probleme les plus importants en analyse numerique lineaire. Les techniques requerant la connaissance du spectre de matrices sont utilisees dans des domaines aussi varies que la mecanique quantique, l'analyse des structures, la theorie des graphes, les modeles de l'economie et le classement des pages de la Toile informatique par les moteurs de recherche. Par exemple, en mecanique des structures, les problemes de « resonances » ou de « vibrations » de structures mecaniques, decrits par l'analyse spectrale, se ramenent a des calculs de valeurs et de vecteurs propres. Les problemes non symetriques de valeurs propres apparaissent dans l'analyse de la stabilite de systemes dynamiques. Dans un tout autre domaine, la chimie quantique donne lieu a des problemes symetriques aux valeurs propres qui peuvent etre gigantesques, tant par leur taille que par le nombre de valeurs et de vecteurs propres a extraire. On peut egalement mentionner que la decomposition aux valeurs singulieres, qui est une sorte de generalisation de la decomposition spectrale classique, est primordiale en statistique et dans les problemes de la « nouvelle economie » (reconnaissance de formes, fouille de donnees, traitement du signal, exploitation de donnees, etc.). Les problemes de valeurs propres sont tres riches, tant par leur variete que par le type de matrices que l'on doit traiter et par les methodes et algorithmes de calcul a utiliser: les matrices peuvent etre symetriques ou non symetriques, creuses ou pleines, et les problemes peuvent etre classiques ou generalises ou meme quadratiques. Il existe des applications qui requierent le calcul d'un tres petit nombre de valeurs propres, d'autres au contraire un grand nombre de valeurs propres ou meme tout le spectre. On essaiera donc dans cet article de survoler les outils permettant de resoudre ces differents cas.