Порівняльний аналіз складності методів лінеаризації та перебору розв’язання систем нелінійних булевих рівнянь

Abstract

Проблема знаходження розв’язків систем нелінійних рівнянь з багатьма змінними над скінченними алгебраїчними структурами та побудови ефективних алгоритмів їх пошуку є важливою для багатьох прикладних задач  у різноманітних галузях і актуальність цієї проблеми зростає з часом. Стійкість багатьох існуючих криптосистем базується на складності задачі розв’язання систем нелінійних рівнянь багатьох змінних над скінченними полями. В загальному вигляді ця задача є задачею -повною. Але існує багато випадків, коли до таких систем можна запропонувати методи більш швидкі ніж методи повного перебору. Оскільки вибір методу може значно зменшити час та необхідні ресурси на знаходження розв’язків системи, природньо виникають питання оцінки складності різних методів розв’язання для систем з різними наборами параметрів, а також пошуку спеціальних найбільш ефективних методів для конкретного класу систем. У статті розглядаються найбільш важливі для криптографії та криптоаналізу системи нелінійних рівнянь з багатьма змінними над скінченним полем . Предметом дослідження є порівняльний аналіз складності методу лінеаризації з введенням нових змінних для розв’язання систем нелінійних рівнянь над полем з багатьма невідомими та  методу повного перебору в залежності від параметрів системи. Метою роботи є отримання середніх оцінок складності методів та знаходження межі в області зміни параметрів перевизначеної сумісної системи рівнянь, яка дає можливість з двох вказаних методів вибрати більш швидкий і ефективний. Запропоновані імовірнісні моделі для отримання теоретичних, асимптотичних оцінок середньої складності методів  та проведення низки статистичних  експериментів з отриманням середніх оцінок методом Монте-Карло.  Показано, що  існує границя в області зміни параметрів, що залежить, перш за все, від співвідношення максимального степеня рівнянь системи та числа невідомих, яка визначає, коли метод лінеаризації працює краще за повний перебір. Теоретичні та експериментальні дані застосовано для побудови цієї границі.  Аналітичний вираз для лінії розмежування в області зміни параметрів системи отримано з використанням методу найменших квадратів.