Rational Interpolation Using Incomplete Barycentric Forms

Abstract

In rational interpolation of ƒ(x) by (a0 + a1x + … + anxn)/(1 + b1x + … + bmxm) at xi, i = 1(1)n + m + 1, instead of solving an (n + m + 1)-th order linear system for ai and bi, we solve only an m-th order linear system to obtain all n + m + 1 coefficients of 1/(x - xi) in the “incomplete barycentric form” of the numerator and denominator. The extension to r-th order osculatory interpolation by (a0 + a1x + … + anr - 1xnr - 1)/(1 + b1x + … + bmrxmr) requires the solution of an rm-th, instead of the usual (rm + rn)-th order linear system. In similar treatment of non-osculatory odd-point rational trigonometric interpolation by a quotient of trigonometric sums, we solve a 2m-th, instead of (2n + 2m + 1)-th order linear system for the coefficients of 1/sin 1/2 (x - xi). Bei der rationalen Interpolation von ƒ(x) durch (a0 + a1x + … + anxn)/(1 + b1x + … + bmxm) in xi, i = 1(1) n + m + 1 losen wir anstatt eines linearen Systems (n + m + 1)-ter Ordnung Fur ai und bi nur ein System m-ter Ordnung, um samtliche Koeffizienten von 1/(x - xi) in der „unvollstandigen baryzentrischen Form” von Zahler und Nenner zu erhalten. Die Ausdehnung auf osculatorische Interpolation r-ter Ordnung durch (a0 + a1x + … + anr - 1xnr - 1)/(1 + b1x + … + bmrxmr) erfordert die Losung eines Systems rm-ter Ordnung anstelle des gewohnlichen linearen Systems (rm + rn)-ter Ordnung. In ahnlicher Behandlung nicht-osculatorischer rationaler trigonometrischer Interpolation uber eine ungerade Punktanzahl durch den Quotienten trigonometrischer Summen losen wir ein lineares System 2m-ter anstelle (2n + 2m + 1)-ter Ordnung Fur die Koeffizienten von 1/sin 1/2 (x - xi).