Верхні оцінки значень індексу розгалуження матриць над кільцями лишків за модулем степеня двійки

Abstract

Індекс розгалуження – один з найважливіших криптографічних параметрів лінійних перетворень у блокових шифрах, який суттєво впливає на стійкість до диференціального та лінійного криптоаналізу. Добре відомі методи побудови у матричній формі лінійних перетворень над скінченними полями, які мають максимально можливе значення індексу розгалуження (MDS-матриці). У той же час важливе криптографічне значення мають операції у кільці лишків за модулем степеня двійки, оскільки вони ефективно реалізуються у сучасних обчислювальних архітектурах і при цьому підвищують стійкість криптоперетворень до алгебраїчних атак. Відомі методи побудови MDS-матриць незастосовні для кілець лишків за непростим модулем. У даній роботі доведено, що матриця над будь-яким кільцем лишків за парним модулем не може мати максимальний індекс розгалуження. Також доведено, що індекс розгалуження матриць над кільцем лишків за модулем степеня двійки є інваріантом при зведенні матриці за модулем 2, а тому для даного класу матриць будуть справедливі усі відомі аналітичні результати, одержані для класу двійкових матриць – зокрема, верхні обмеження на індекс розгалуження. Сформульовано умови для двійкових матриць, необхідні для високого значення індексу розгалуження. Одержані результати дозволяють будувати блокові шифри із потенційно підвищеною стійкістю до алгебраїчних та інтегральних атак, зберігаючи при цьому обґрунтовану стійкість до диференціального та лінійного криптоаналізу.