Homomorphismes et automorphismes “abstraits” de groupes algébriques et arithmétiques

Abstract

L'auteur fait le point (en 1970) des connaissances relatives aux homomorphismes et automorphismes des groupes classiques. Il pose le probleme sous une forme tres generale: on a deux corps commutatifs K,K′, un schema en groupes KG[K′G′] sur K[K′], un sous-groupe H[H′] du groupe des points de KG[K′G′] rationnels sur K[K′]. L'auteur decrit d'abord un type d'homomorphisme α:H→H′ qu'il appelle semi-algebrique. On le definit en considerant d'une part un homomorphisme de corps σ:K→K′; si KσG est le schema en groupes sur K′ deduit de KG par le changement de base σ, on a un homomorphisme canonique σ∗ du g certaines conditions, est tel que β(h)=α(h)χ(h), ou α est semi-algebrique et χ un homomorphisme de H dans le centre de H′. Il ne faut s'attendre a une reponse raisonnable que lorsque KG et K′G′ sont des schemas en groupes semi-simples, comme le montrent des exemples pathologiques donnes par l'auteur a la fin de son expose.Les exemples enumeres par l'auteur ou le probleme precedent a une reponse affirmative sont d'une part ceux examines par O'Meara et son ecole par la methode de caracterisation des rotations planes, developpee par O'Meara depuis 1966; d'autre part, ceux qui font l'object des travaux de A. Borel et de l'auteur. Ces derniers s'appliquent a tous les groupes algebriques absolument presque simples (classiques ou "exceptionnels'') pourvuqu'ils soient "isotropes''; par contre cette condition n'intervient pas dans la methode de O'Meara, mais cette derniere est limitee aux groupes classiques.