Topological singularities for vector-valued Sobolev maps and applications

Abstract

— We review the analysis of topological singularities of Sobolev maps into manifolds and their applications to variational problems of Ginzburg–Landau type and to the lifting problem for BV maps into manifolds. We describe in particular recent results obtained in the vector-valued case related to variational models of material science, more precisely the Landau–de Gennes model. RÉSUMÉ. — Nous passons en revue certains résultats d’analyse des singularités topologiques des fonctions de Sobolev à valeurs dans des variétés, ainsi que leurs applications aux problèmes variationnels de type Ginzburg–Landau et au problème du relèvement dans l’espace BV. En particulier, nous présentons des résultats récents, portant sur les fonctions à valeurs vectorielles, qui trouvent leur application dans l’étude des modèles variationnels pour la science des matériaux, tels que le modèle de Landau–de Gennes. 1. Topological singularities of Sobolev maps into spheres 1.1. Motivating example: the Ginzburg–Landau energy Consider the Ginzburg–Landau functional u ∈W 1,2(Ω, C) 7→ EGL ε (u) := ∫ Ω { 1 2 |∇u| 2 + 1 4ε2 (1− |u| 2)2 }