H1(ℝ) 上的 S1 有界傅里叶乘数和半群的函数微积分

摘要 设 T: H1(ℝ) → H1(ℝ) 是解析哈代空间 H1(ℝ) 上的有界傅立叶乘法器，且设 m∈ L∞(ℝ+) 为其符号，即对于所有 h∈ H1(ℝ)，（widehat {T(h)} = m\hat h\ ）。让 S1 成为 ℓ2 上所有迹类算子的巴拿赫空间。我们证明，当且仅当存在一个希尔伯特空间ℌ和两个函数 α, β∈ L∞(ℝ+。) 时，T 允许有界张量扩展（T\overline \otimes {I_{S_1}}}:{H^1}(\mathbb{R};{S^1}) \to {H^1}(\mathbb{R};{S^1})）：ℌ) ，使得 m(s+t) = 〈αα(t), β(s)〉ℌ，适用于几乎每一个 (s, t) ∈ ℝ + 2。这种傅里叶乘法器被称为 S1-bounded，我们让 \({{\cal M}_{{S^1}}}({H^1}(\mathbb{R}))\) 表示所有 S1-bounded 傅里叶乘法器的巴纳赫空间。接下来，我们分两步将这一结果应用于函数微积分估计。首先，我们在 ℂ+ = {z ∈ ℂ:Re(z) > 0} 上引入一个新的有界解析函数巴拿赫代数（{{\cal A}_{0,{S^1}}}({\mathbb{C}_ +})），并证明其对偶空间与 \({{\cal M}_{S^1}}}({H^1}}(\mathbb{R}))\)重合。其次，给定希尔伯特空间上任意有界 C0 半群 (Tt)t≥0 以及任意 b∈ L1(ℝ+)，我们建立一个估计值 \(||\int_0^\infty {b(t)} {T_t}dt||\,\,\lesssim\,\,||{L_b}|{{{{\cal A}_{0,{S^1}}}}}\)这改进了前两位作者最近得到的函数微积分估计值。