可测算子代数中的一个分块投影算子

AbstractLet \(\tau \) be a faithful normal semifinite trace on a von Neumann algebra \(\mathcal{M}\)。研究了所有可测算子的*代数\(S(\mathcal{M},\tau )\)中的块投影算子\({\mathcal{P}}_{n}}\)\((n \geqslant 2)\)。研究表明，对于任何算子 \(A\in S{{(\mathcal{M},\tau )}^{ + }}\)，\(A leqslant n{{\mathcal{P}}_{n}}(A)\) 都是可测算子。如果 \(A \in S{(\mathcal{M},\tau )}^{ + }}\) 在 \(S(\mathcal{M},\tau )\) 中是可逆的，那么 \({{mathcal{P}}_{n}}(A)\) 在 \(S(\mathcal{M},\tau )\) 中就是可逆的。让（A = A\text{*}\在 S(\mathcal{M},\tau )\).那么，(i) 如果 \({{math\cal{P}}_{n}}(A) \leqslant A\) （或者如果 \({{math\cal{P}}_{n}}(A) \geqslant A\) ），那么 \({{math\cal{P}}_{n}}(A) = A\)、(ii) \({{mathcal{P}}_{n}}(A) = A\) if and only if \({{P}_{k}}A = A{{P}_{k}}\) for all \(k = 1, \ldots ,n\)；和 (iii) 如果 \(A,{{mathcal{P}}_{n}}(A) \ in \mathcal{M}\) 是投影，那么 \({{mathcal{P}}_{n}}(A) = A\).我们得到了四个推论。一个例子见论文（A. Bikchentaev 和 F. Sukochev, "Inequalities for the Block Projection Operators," J. Funct.Anal.280 (7), 108851 (2021)）中提出的一个例子得到了完善和加强。