On the balanced pantograph equation of mixed type

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal Pub Date : 2024-01-02 DOI:10.3842/umzh.v75i12.7654

G. Derfel, B. V. Brunt

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Abstract

UDC 517.9 We consider the balanced pantograph equation (BPE) y ′ ( x ) + y ( x ) = ∑ k = 1 m p k y ( a k x ) , where a k , p k > 0 and ∑ k = 1 m p k = 1. It is known that if K = ∑ k = 1 m p k ln a k ≤ 0 then, under mild technical conditions, the BPE does not have bounded solutions that are not constant, whereas for K > 0 these solutions exist. In the present paper, we deal with a BPE of mixed type, i.e., a 1 < 1 < a m , and prove that, in this case, the BPE has a nonconstant solution y and that y ( x ) ∼ c x σ as x → ∞ , where c > 0 and σ is the unique positive root of the characteristic equation P ( s ) = 1 - ∑ k = 1 m p k a k - s = 0. We also show that y is unique (up to a multiplicative constant) among the solutions of the BPE that decay to zero as x → ∞ .

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UDC 517.9 我们考虑平衡受电弓方程（BPE）y′(x)+y(x)=∑k=1mpky(akx)，其中 ak,pk>0 且 ∑k=1mpk=1。众所周知，如果 K=∑k=1mpklnak≤0 则在温和的技术条件下，BPE 不存在非常数的有界解，而当 K>0 时，这些解是存在的。在本文中，我们将讨论混合型 BPE，即、在本文中，我们将讨论混合型 BPE，即 a11am，并证明在这种情况下，BPE 有一个非恒定解 y，且 y(x)∼cxσ as x→∞，其中 c>0 且 σ 是特征方程 P(s)=1-∑k=1mpkak-s=0 的唯一正根。我们还证明，在随着 x→∞ 衰减为零的 BPE 解中，y 是唯一的（直到一个乘法常数）。

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Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

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