关于 GL $_$2$$ 素幂模的里贝特定理

Abstract Let \(\rho :G\rightarrow {{\,\textrm{GL}\,}}_2(K)\) be a continuous representation of a compact group G over a complete discretely valued field K with ring of integers \(\mathcal {O}\) and uniformiser \(\pi \) .我们证明，当且仅当\(\rho \)是可＜\(\pi ^n\)的可还原模时，\({\textrm{tr}\,}}\rho \)是可＜\(\pi ^n\)的可还原模。更确切地说，存在字符 \(\chi _1,\chi _2 ：G\rightarrow (\mathcal {O}/\pi ^n\mathcal {O})^times\) such that \(\det (t -\rho (g))\equiv (t-\chi _1(g))(t-\chi _2(g))\pmod {\pi ^n}\) for all \(g\in G\) 、当且仅当存在一个G稳定网格（\Lambda \subseteq K^2\），使得\(\Lambda /\pi ^n\Lambda \)包含一个G不变的、自由的、秩一的\(\mathcal {O}/\pi ^n\mathcal {O}\)-子模块。我们的结果适用于 \(\rho \) 不是残差无多重性的情况，在这种情况下，它回答了 Bellaïche 和 Chenevier 的一个问题（《代数学报》410:501-525，2014 年，第 524 页）。作为应用，我们证明了一个最优版本的里贝特（Ribet）阶梯，它给出了一个 G 稳定晶格 \(\Lambda \) 的存在条件，这个晶格通过 \(\chi _1\) 实现了 \(\chi _2\) 的非分裂扩展。