一类完全非局部椭圆扩散算子的分析

Abstract This work explores the possibility of developing the analog of some classic results from elliptic PDEs for a class of fractional ODEs involving the composition of both left-side and right-sided Riemann-Liouville (R-L) fractional derivatives, \({D^\alpha _{a+}}{D^\beta _{b-}}) , \(1<\alpha +\beta <2\) .与单边非局部 R-L 导数相比，这些复合算子是完全非局部的，这意味着在对 x 点的\({D^\alpha _{a+}}{D^\beta _{b-}}u(x)\) 求值时，不仅要检索 x 左侧一直到左边界的信息，还要同时检索右侧一直到右边界的信息。因此，在这种情况下只能使用有限的工具，这也是这项工作最具挑战性的部分。为了克服这个问题，我们从非传统的角度进行分析，最终建立了椭圆型结果，包括霍普夫定理和最大原则。作为 \(\alpha \rightarrow 1^-\) 或 \(\alpha ,\beta \rightarrow 1^-\) ，这些算子分别简化为单边分数扩散算子和经典扩散算子。由于这些原因，我们仍然称它们为 "椭圆扩散算子"，但没有任何物理解释。