超立方图的 Vietoris-Rips 复合物同调的下限

摘要 我们对所有维度和所有尺度的超立方图的 Vietoris-Rips 复数的贝蒂数提供了新的下界。更详细地说，设 \(Q_n\) 是 n 维超立方图中 \(2^n\) 个顶点的顶点集，并配有最短路径度量。让 \(\textrm{VR}(Q_n;r)\)成为它在尺度参数 \(r \ge 0\) 下的维托里斯-里普斯复数，它以\(Q_n\)为顶点集，以直径最大为 r 的所有子集为简集。对于整数 \(r<r'\)，包含 \(\textrm{VR}(Q_n;r)\hookrightarrow \textrm{VR}(Q_n;r')\) 是空同调的，这意味着没有持续同调条的长度长于 1，因此我们把注意力集中在单个空间 \(\textrm{VR}(Q_n;r)\) 上。我们提供了 \(\textrm{VR}(Q_n;r)\) 的同调群等级的下限。例如，使用交叉多聚生成器，我们证明了 \(H_{2^r-1}(\textrm{VR}(Q_n;r))\) 的秩至少是 \(2^{n-(r+1)}\left( {\begin{array}{c}n\ r+1\end{array}}\right) \)。我们还证明了同调传播的一个版本：如果 \(q\ge 1\) 并且如果 p 是 \(\textrm{rank}H_q(\textrm{VR}(Q_p;r))\ne 0\) 的最小整数，那么 \(textrm{rank}H_q(\textrm{VR}(Q_p;r))ne 0\)。那么 （textrm{rank}H_q(\textrm{VR}(Q_n;r))\ge \sum _{i=p}^n 2^{i-p}\leave( {\begin{array}{c}i-1\ p-1\end{array}\right) \cdot textrm{rank}H_q(\textrm{VR}(Q_p;r))\) for all \(n \ge p\) .当 \(r\le 3\) 时，这个结果及其变体为所有 n 的 \(H_q(\textrm{VR}(Q_n;r))\的秩提供了严格的下界，并且对于每个 \(r\ge 4\) 我们都会产生新的同调群秩的下界。此外，我们还证明了对于每一个（r\ge 2\) ，对于（n\ge 2r+1\)的（\textrm{VR}(Q_n;r)）的同源性群包含不是由初始交叉多胞生成器诱导的传播同源性。