抛物线 SPDE 的瞬时无处爆炸

摘要 我们考虑以下随机热方程 $$\begin{aligned}\partial _t u(t,x) = \tfrac{1}{2}\partial ^2_x u(t,x) + b(u(t,x))+ sigma (u(t,x)){dot{W}}(t,x), end{aligned}$$ 定义为 \((t,x)\in (0,\infty )\times {mathbb {R}}\)其中 \({\dot{W}}\) 表示时空白噪声。函数 \(\sigma \)被假定为正值、有界、全局 Lipschitz 且远离原点均匀有界，函数 b 被假定为正值、局部 Lipschitz 且不递减。我们证明了奥斯古德条件 $$\begin{aligned}\int _1^\infty \frac{textrm{d}y}{b(y)}<；\換句話說，Osgood 條件確保（textrm{P}{ u(t,x)=\infty \quad \hbox { for all } t>0 \hbox { and } xin {\mathbb {R}}\}=1.\) 证明的主要内容涉及一类微分不等式的命中时间约束（备注 3.3），以及利用马利亚文微积分和陈等人的 Poincaré 不等式（Electron J Probab 26:1-37, 2021, J Funct Anal 282(2):109290, 2022）所发展的技术研究随机卷积的空间增长。