两个 q 运算方程和哈恩多项式

摘要 受刘晓明(Sci China Math 66:1199-1216, 2023)近期工作的启发。本文通过提出一个新的 q 指数算子来揭示哈恩多项式的本质特征，即 $$\begin{aligned}\exp _q(t\Delta _{x,a})f(x)=\frac{(axt;q)_{\infty }}{(xt;q)_{\infty }}\sum _{n=0}^{infty }\frac{t^n}{(q;q)_n} f(q^n x) \end{aligned}$$ with \(\Delta _{x,a}=x (1-a)\eta _a+\eta _x\)和 \(\eta _x \{f(x) \}=f(qx)\) .让 \(f(x) \equiv 1\) 和上述算子方程立即成为哈恩多项式的生成函数。这些都促使我们用一种系统的方法来研究涉及哈恩多项式的等式。作为应用，我们用 q 指数算子的方法证明了一些新的 q 常项，包括 q-Nielsen 公式和 Carlitz 对哈恩多项式的扩展等。此外，还给出了 q 高斯求和的广义。