谱条件下的线性和乘法映射

Abstract Brits 等人在[4]中给出的 Gleason-Kahane-Żelazko 定理的乘法版本被扩展到从\(C^*\)-数到交换半简单巴拿赫数的映射。特别是证明了如果一个乘法映射（phi）来自于一个（C^*）-代数代数到交换半简单巴拿赫代数的乘法映射在 \(\mathcal{U}\) 的所有不可逆元素集合上是连续的，并且对于任何 \(a \ in \mathcal{U}\) 来说，\(\sigma(\phi(a)) \subseteq \sigma(a)\)都是连续的、那么 \(\phi\) 是一个线性映射。图雷等人在[14]中给出的科瓦尔斯基-斯沃德科夫斯基（Kowalski-Słodkowski）定理的乘法变化也得到了推广。具体来说如果 \(\phi\) 是一个来自 \(C^*\)- 代数的连续映射代数到交换半简单巴拿赫代数的连续映射，满足条件 \(\phi(1_\mathcal{U})=1_\mathcal{V}\) and \(\sigma(\phi(x)\phi(y)) \subseteq \sigma(xy)\) for all \(x、y在\mathcal{U}\)中，那么\(\phi\)在\(\mathcal{U}\)上生成一个线性乘法映射\(\gamma_\phi\)，它与\(\mathcal{U}\)可逆群的主成分上的\(\phi\)重合。如果\(\mathcal{U}\)是一个巴拿赫代数，使得\(\mathcal{U}\)的每个元素都有完全断开的谱，那么映射\(\phi\)本身在\(\mathcal{U}\)上是线性和乘法的。研究表明，在更严格的谱条件下，类似的陈述对于具有半简单域的映射也是有效的。这些例子证明结果中的某些假设是不能丢弃的。