表面测量的傅立叶变换的尖锐 $$L^p$$ 估计值

摘要 我们考虑了集中在光滑表面 \(S\subset \mathbb{R}^3\)上的度量的傅里叶变换的估计值，该光滑表面由具有简单阿诺德奇点的光滑函数的图给出，使得表面的两个主曲率在某一点上消失。我们证明，如果函数临界点的多重性不超过 \(7\)，那么对于任意 \(p>3\)，相应曲面度量的傅立叶变换属于 \(L^{p}(\mathbb{R}^3)\)。需要注意的是，对于任何光滑表面，具有紧凑支撑的非难表面度量的傅里叶变换不属于\(L^3(\mathbb{R}^3)\)；也就是说，得到的\(L^p(\mathbb{R}^3)\)估计值是尖锐的。此外，存在一个具有 \(E_8\) 奇异性（函数临界点的多重性等于 \(8\)）的函数，使得相应曲面度量的傅里叶变换不属于 \(L^{22/7}(\mathbb{R}^3)\)，这表明了临界点多重性结果的尖锐性。