论均质重球在二阶旋转面上滚动问题的四次方可积分性

摘要 本文考虑了在绝对粗糙的旋转表面上滚动一个重均质球的问题。通常，在考虑这个问题时，不考虑球滚动的表面，而是明确指定球的中心沿其移动的表面；这些表面是等距的。在这种情况下，问题的求解简化为对某个系数可变的二阶线性微分方程的积分。该方程的系数取决于球心沿其移动的表面的特征、主曲率和拉梅系数。如果可以明确地找到相应二阶线性微分方程的一般解，那么在旋转表面上滚动重均质球的问题就可以用四元积分法来解决。然而，对于任意旋转曲面，不可能以显式形式找到相应方程的通解。因此，人们感兴趣的问题是，对于哪些旋转曲面，可以明确地找到二阶线性微分方程的一般解。在本研究中，假定球心沿其移动的曲面是二阶非退化旋转曲面。在这种情况下，二阶线性微分方程的一般解可以用显式求得，而在旋转曲面上滚动重均质球的问题就简化为对该方程的积分。因此，可以证明，如果在旋转曲面上滚动的重球的中心属于二阶非退化旋转曲面，那么滚动球的问题可以用四元数积分。