二阶准微分边值问题特征值渐近性研究

Abstract We construct the asymptics of the eigenvalues for a quasidifferential Sturm-Liouville boundary value problem on eigenvalues and eigenfunctions considered on a segment \(J = [a,b]\)、左侧和右侧为 I 型边界条件，即对于形式为（显式符号）\({{p}_{{22}}}(t)\left( {{{p}_{{11}}}(t)\left( {{{p}_{00}}}(t)x(t)}\right){\kern 1pt} '\；+ {{p}_{{10}}}(t)\left( {{p}_{{00}}}(t)x(t)} \right)} \right){\kern 1pt} '\；+ {{p}_{{21}}}(t)\left( {{p}_{{11}}}(t)\left( {{p}_{{00}}}(t)x(t)} \right){\kern 1pt} '\; + {{p}_{{10}}}(t)\left( {{p}_{00}}}(t)x(t)} \right)} \)( + \；{{p}_{20}}}(t)\left( {{p}_{00}}}(t)x(t)} \right) = - \lambda \left( {{p}_{00}}}(t)x(t)} \right)\;\;(t \in J = [a,b]),\)\({{p}_{00}}}(a)x(a) = {{p}_{00}}}(b)x(b) = 0.\方程中系数（即函数 \({{p}_{{ik}}}( \cdot ):J \to \mathbb{R}\), \(k \in 0:i\), \(i \in 0:2\)) 的平稳性要求是最低的，即如下：函数 \({{p}_{{ik}}}( \cdot )：J \to \mathbb{R}\) 是这样的：函数 \({{p}_{{00}}}( \cdot )\) 和 \({{p}_{{22}}}( \cdot )\) 是可测量的、非负的、几乎处处有限的、函数（{{p}_{{11}}}( \cdot )）和函数（{{p}_{21}}}( \cdot )）在线段 \(J.) 上也是非负的、\此外，函数 \({{p}_{{11}}}( \cdot )\) 和 \({{p}_{{22}}}( \cdot )\) 在 \(J,\) 上基本上是有界的；函数 \(\frac{1}{{{{p}_{{11}}}( \cdot )}},\；\;\frac{{{{p}_{{21}}}( \cdot )}}{{{{p}_{{22}}}( \cdot )}},\;\;\frac{1}{{min \{{{p}_{{11}}}(t){{p}_{{22}}}(t),1\}函数 \({{p}_{{20}}}( \cdot )\) 充当了势。证明了在\(J\)上的二阶均质准微分方程的非振荡条件下，所考虑的边界值问题的特征值的渐近形式为({{\lambda }_{k}} = {{(\pi k)}^{2}} （left( {D + O({\text{1/}}{{k}^{2}}) }）。\其中 \(D\) 是以某种方式定义的实正常数。