On an Ambrosetti–Prodi type problem for a class of fourth-order ODEs involving Dirac weights

Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik Pub Date : 2024-07-05 DOI:10.1007/s00033-024-02285-w

Jiao Zhao, Ruyun Ma

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Abstract

The aim of this paper is to establish an Ambrosetti–Prodi type result involving Dirac weights

$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} u''''(x)+q(x)u(x)=(c (x)+\sum \limits _{i=1}^{p}c_{i}\delta (x-x_i))(g(u(x))+f(x)),~~~~&{}x\in (0,1),\\ \ u(0)=u(1)=u''(0)=u''(1)=0,\\ \end{array}\right. \end{aligned}$$

where $\delta (x-x_i)$ is the canonical Dirac delta function at the point $x_i$, $i=1,2,\ldots ,p$, $p\in \mathbb {N}$, $0=x_0<x_1<\cdots<x_p<x_{p+1}=1$, $q\in C([0,1],[0,+\infty ))$, $f\in L^1([0,1],\mathbb {R})$, $g\in C^{1}(\mathbb {R},\mathbb {R})$, $c\in C([0,1],[0,+\infty ))$, $c_i\in [0,+\infty )$. The main tools used are the sub-super-solution method and Leray–Schauder topological degree theory.

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关于一类涉及狄拉克权重的四阶 ODE 的 Ambrosetti-Prodi 类型问题

本文的目的是建立一个涉及狄拉克权重的安布罗塞蒂-普罗迪类型结果 $$\begin{aligned}\u''''(x)+q(x)u(x)=(c (x)+sum \limits _{i=1}^{p}c_{i}\delta (x-x_i))(g(u(x))+f(x)),~~~~&{}x\in (0,1),\\ u(0)=u(1)=u''(0)=u''(1)=0,\\\end{array}\right.\end{aligned}$$其中 $\delta (x-x_i)$ 是在点$x_i$处的典型狄拉克德尔塔函数，$i=1,2,\ldots ,p$,$p\in \mathbb {N}$,$0=x_0<x_1<\cdots<x_p<；x_{p+1}=1）, （q\in C([0,1],[0,+\infty ))$, （f\in L^1([0,1],\mathbb {R})）, （g\in C^{1}(\mathbb {R},\mathbb {R})）, （c\in C([0,1],[0,+\infty ))\), （c_i\in [0,+\infty )\).使用的主要工具是子超解方法和勒雷-肖德拓扑度理论。

本文章由计算机程序翻译，如有差异，请以英文原文为准。

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Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik

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