Induced subgraphs of $K_r$-free graphs and the Erdős--Rogers problem

Abstract

For two graphs $F,H$ and a positive integer $n$, the function $f_{F,H}(n)$ denotes the largest $m$ such that every $H$-free graph on $n$ vertices contains an $F$-free induced subgraph on $m$ vertices. This function has been extensively studied in the last 60 years when $F$ and $H$ are cliques and became known as the Erd\H{o}s-Rogers function. Recently, Balogh, Chen and Luo, and Mubayi and Verstra\"ete initiated the systematic study of this function in the case where $F$ is a general graph. Answering, in a strong form, a question of Mubayi and Verstra\"ete, we prove that for every positive integer $r$ and every $K_{r-1}$-free graph $F$, there exists some $\varepsilon_F>0$ such that $f_{F,K_r}(n)=O(n^{1/2-\varepsilon_F})$. This result is tight in two ways. Firstly, it is no longer true if $F$ contains $K_{r-1}$ as a subgraph. Secondly, we show that for all $r\geq 4$ and $\varepsilon>0$, there exists a $K_{r-1}$-free graph $F$ for which $f_{F,K_r}(n)=\Omega(n^{1/2-\varepsilon})$. Along the way of proving this, we show in particular that for every graph $F$ with minimum degree $t$, we have $f_{F,K_4}(n)=\Omega(n^{1/2-6/\sqrt{t}})$. This answers (in a strong form) another question of Mubayi and Verstra\"ete. Finally, we prove that there exist absolute constants $0

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无 K_r$ 图的诱导子图和厄尔多斯--罗杰斯问题

对于两个图$F,H$和一个正整数$n$，函数$f_{F,H}(n)$表示最大的$m$，使得在$n$顶点上每个无$H$的图都包含一个在$m$顶点上无$F$的诱导子图。在过去的 60 年中，当 $F$ 和 $H$ 都是簇时，这个函数被广泛研究，并被称为 Erd\H{o}s-Rogers 函数。最近，Balogh、Chen 和 Luo 以及 Mubayi 和 Verstra\"ete 开始在 $F$ 是一般图的情况下系统地研究这个函数。我们以强形式回答了穆巴伊和韦斯特拉的一个问题，证明了对于每一个正整数 $r$ 和每一个无 $K_{r-1}$ 的图 $F$，存在某个 $\varepsilon_F>0$ ，使得 $f_{F,K_r}(n)=O(n^{1/2-\varepsilon_F})$ 。首先，如果 $F$ 包含 $K_{r-1}$ 这个子图，那么这个结果就不再成立。其次，我们证明了对于所有 $r\geq 4$ 和 $\varepsilon>0$ 的情况，存在一个不包含 $K_{r-1}$ 的图 $F$，对于这个图 $f_{F,K_r}(n)=\Omega(n^{1/2-\varepsilon})$。在证明这一点的过程中，我们特别指出，对于每个最小度为 $t$ 的图 $F$，我们有 $f_{F,K_4}(n)=\Omega(n^{1/2-6/\sqrt{t}})$。这（以强形式）回答了穆巴伊和韦斯特拉的另一个问题。最后，我们证明了存在绝对常量 $0

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