Endomorphism Rings of Supersingular Elliptic Curves and Quadratic Forms

Abstract

Given a supersingular elliptic curve, the supersingular endomorphism ring problem is to compute all of its endomorphisms. We use the correspondence between maximal orders in quaternion algebra $B_{p,\infty}$ and positive ternary quadratic forms with discriminant $p$ to solve the supersingular endomorphism ring problem. Let $c<3p/16$ be a prime or $c=1$. Let $E$ be a $\mathbb{Z}[\sqrt{-cp}]$-oriented supersingular elliptic curve defined over $\mathbb{F}_{p^2}$. There exists a subgroup $G$ of order $c$, and $\text{End}(E,G)$ is isomorphic to an Eichler order in $B_{p,\infty}$ of level $c$. If the endomorphism ring $\text{End}(E,G)$ is known, then we can compute $\text{End}(E)$ by solving two square roots in $\mathbb{F}_c$. In particular, let $D

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给定一条超椭圆曲线，超椭圆内态环问题就是计算它的所有内态。我们利用四元代数中的最大阶 $B_{p,\infty}$ 与判别式为 $p$ 的正二次型之间的对应关系来解决超椭圆内定型环问题。让 $c<3p/16$ 是素数或 $c=1$。让 $E$ 是定义在 $mathbb{F}_{p^2}$ 上的、面向 $mathbb{Z}[\sqrt{-cp}]$ 的超椭圆曲线。存在一个阶为$c$的子群$G$，并且$text{End}(E,G)$ 与阶为$c$的$B_{p,\infty}$中的艾希勒阶同构。如果已知内定环 $\text{End}(E,G)$，那么我们可以通过求解 $\mathbb{F}_c$ 中的两个平方根来计算 $\text{End}(E)$。特别地，让 $D

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