Weighted anisotropic Sobolev inequality with extremal and associated singular problems

Abstract

For a given Finsler-Minkowski norm $\mathcal{F}$ in $\mathbb{R}^N$ and a bounded smooth domain $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ $\big(N\geq 2\big)$, we establish the following weighted anisotropic Sobolev inequality $$ S\left(\int_{\Omega}|u|^q f\,dx\right)^\frac{1}{q}\leq\left(\int_{\Omega}\mathcal{F}(\nabla u)^p w\,dx\right)^\frac{1}{p},\quad\forall\,u\in W_0^{1,p}(\Omega,w)\leqno{\mathcal{(P)}} $$ where $W_0^{1,p}(\Omega,w)$ is the weighted Sobolev space under a class of $p$-admissible weights $w$, where $f$ is some nonnegative integrable function in $\Omega$. We discuss the case $0

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具有极值和相关奇异问题的加权各向异性Sobolev不等式

对于$\mathbb｛R｝^N$中给定的Finsler-Minkowski范数$\mathcal｛F｝$和有界光滑域$\Omega\subet\mathbb{R｝^N$\big（N\geq2\big）$，我们建立了以下加权各向异性Sobolev不等式$S\left（\int_｛\Omega｝|u|^qf\，dx\right）^\frac｛1｝｛p｝，\fquad\fall\，u\在W_0^{1，p}（\Omega，W）\leqno｛\mathcal｛（p）｝$$中，其中$W_0^｛1，p｝（\Omeca，W）$是一类$p$可容许权$W$下的加权Sobolev空间，其中$f$是$\Omega$中的一些非负可积函数。我们讨论了$0

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