Concurrent normals of immersed manifolds

Abstract

It is conjectured since long that for any convex body $K \subset \mathbb{R}^n$ there exists a point in the interior of $K$ which belongs to at least $2n$ normals from different points on the boundary of $K$. The conjecture is known to be true for $n=2,3,4$. Motivated by a recent results of Y. Martinez-Maure, and an approach by A. Grebennikov and G. Panina, we prove the following: Let a compact smooth $m$-dimensional manifold $M^m$ be immersed in $ \mathbb{R}^n$. We assume that at least one of the homology groups $H_k(M^m,\mathbb{Z}_2)$ with $k

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浸入式流形的并发法线

长久以来，我们推测对于任何凸体$K \子集$ mathbb{R}^n$，在$K$的内部存在一个点，该点至少属于$K$边界上不同点的$2n$法线。这个猜想对于n=2,3,4是成立的。根据Y. Martinez-Maure最近的结果，以及a . grebennikov和G. Panina的一种方法，我们证明了以下问题:设一个紧化光滑$m$维流形$m ^m$浸入$ \mathbb{R}^n$中。我们假设在k< M的同调群$H_k(M^ M，\mathbb{Z}_2)$中至少有一个不存在。然后在温和的条件下，几乎每条到$M^ M $的法线都包含至少$\beta +4$从$M^ M $的不同点来的法线的交点，其中$\beta$是$M^ M $的贝蒂数之和。

本文章由计算机程序翻译，如有差异，请以英文原文为准。