Mesures centrales pour les graphes multiplicatifs, représentations d’algèbres de Lie et polytopes des poids

Abstract

— To each finite-dimensional representation of a simple Lie algebra is associated a multiplicative graph in the sense of Kerov and Vershik defined from the decomposition of its tensor powers into irreducible components. It was shown in [11] and [12] that the conditioning of natural random Littelmann paths to stay in their corresponding Weyl chamber is controlled by central measures on this type of graphs. Using the K-theory of associated C∗-algebras, Handelman [8] established a homeomorphism between the set of central measures on these multiplicative graphs and the weight polytope of the underlying representation. In the present paper, we make explicit this homeomorphism independently of Handelman’s results by using Littelmann’s path model. As a by-product we also get an explicit parametrization of the weight polytope in terms of drifts of random Littelmann paths. This explicit parametrization yields a complete description of harmonic and c-harmonic functions for the Littelmann path model describing the iterated tensor product of an irreducible representation. Résumé. — Nous associons un graphe multiplicatif au sens de Vershik et Kerov à chaque représentation de dimension finie d’une algèbre de Lie simple en considérant la décomposition de ses produits tensoriels successifs en représentations irréductibles. Pour chacune de ces représentations de dimension finie, il a été montré en [11] et [12] que le conditionnement d’un chemin de Littelmann aléatoire à rester dans la chambre de Weyl est décrit par les mesures centrales sur le graphe multiplicatif associé. En utilisant la K-théorie des C∗-algèbres correspondantes, Handelman a établi un homéomorphisme entre l’ensemble des mesures centrales sur un de ces graphes multiplicatifs et le polytope des poids de la représentation sous-jacente. Dans cet article, nous rendons explicite l’homéomorphisme d’Handelman en utilisant les modèles de chemins de Littelmann. On obtient en conséquence une paramétrisation du polytope des poids en termes de dérives de chemins de Littelmann aléatoires. La paramétrisation explicite donne une description complète des fonctions harmoniques et c-harmoniques pour les modèles de chemins de Littelmann décrivant les itérations de produits tensoriels d’une représentation irréductible.