Asymptotical local probabilities of lower deviations for branching process in random environment with geometric distributions of descendants

Abstract

Abstract We consider local probabilities of lower deviations for branching process Zn=Xn,1+⋯+Xn,Zn−1 ${{Z}_{n}}={{X}_{n,1}}+\cdots +{{X}_{n,{{Z}_{n-1}}}}$in random environment η. We assume that η is a sequence of independent identically distributed random variables and for fixed environment η the distributions of variables Xi,j are geometric ones.We suppose that the associated random walk Sn=ξ1+⋯+ξn ${{S}_{n}}={{\xi }_{1}}+\cdots +{{\xi }_{n}}$has positive mean μ and satisfies left-hand Cramer’s condition Eexp(hξi)<∞ if h−

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具有子体几何分布的随机环境中分支过程低偏差的渐近局部概率

我们考虑随机环境η中分支过程Zn=Xn,1+⋯+Xn,Zn−1 ${{Z}_{n}}={{X}_{n,1}}+\cdots +{{X}_{n,{{Z}_{n-1}}}}$的低偏差局部概率。我们假设相关随机漫步Sn=ξ1+⋯+ξn ${{S}_{n}}={{\xi }_{1}}+\cdots +{{\xi }_{n}}$具有正均值μ，并且对于某些h−<−1，满足左手克莱默条件exp(hξi)<∞，如果h−

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