On the Kirchhoff type equations in $\mathbb{R}^{N}$

Abstract

Consider a nonlinear Kirchhoff type equation as follows \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} -\left( a\int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla u|^{2}dx+b\right) \Delta u+u=f(x)\left\vert u\right\vert ^{p-2}u & \text{ in }\mathbb{R}^{N}, \\ u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N}), & \end{array}% \right. \end{equation*}% where $N\geq 1,a,b>0,2

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关于$\mathbb｛R｝^｛N｝中的Kirchhoff型方程$

考虑如下的非线性Kirchhoff型方程\begin{equation*} \\ begin{array}{ll} -\left(a\int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla u|^{2}dx+b\right) \Delta u+u=f(x)\left\vert u\right\vert ^{p-2}u & \text{in}\mathbb{R}^{N}， \\ u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N})， & \end{array}% \right。结束\{方程*}% N \组的1美元,a, b > 0,剩下2 < p < \敏\ \ {4,2 ^ {\ ast} \右\}美元($ 2 ^ {\ ast} = \ infty为N = 1美元2 $和$ ^ {\ ast} = 2 N / (N - 2)对N \组3美元)和函数f \美元在C (\ mathbb {R} ^ {N}) \帽L ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})美元。区别于已有的文献结果，我们更感兴趣的是与上述问题相关的能量泛函的几何性质。进一步证明了正解的不存在性、存在性、唯一性和多重性依赖于参数a和维数N。特别地，我们得出$1\leq N\leq4$存在一个唯一正解，而$N\geq5$允许至少两个正解。

本文章由计算机程序翻译，如有差异，请以英文原文为准。