"Eigenvalues of the (p, q, r)-Laplacian with a parametric boundary condition"

Abstract

"Consider in a bounded domain $\Omega \subset \mathbb{R}^N$, $N\ge 2$, with smooth boundary $\partial \Omega$ the following nonlinear eigenvalue problem \begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} -\sum_{\alpha \in \{ p,q,r\}}\rho_{\alpha}\Delta_{\alpha}u=\lambda a(x) \mid u\mid ^{r-2}u\ \ \mbox{ in} ~ \Omega,\\[1mm] \big(\sum_{\alpha \in \{p,q,r\}}\rho_{\alpha}\mid \nabla u\mid ^{\alpha-2}\big)\frac{\partial u}{\partial\nu}=\lambda b(x) \mid u\mid ^{r-2}u ~ \mbox{ on} ~ \partial \Omega, \end{array}\right. \end{equation*} where $p, q, r\in (1, +\infty),~q0.$ Such a triple-phase problem is motivated by some models arising in mathematical physics. If $r \not\in (q, p),$ we determine a positive number $\lambda_r$ such that the set of eigenvalues of the above problem is precisely $\{ 0\} \cup (\lambda_r, +\infty )$. On the other hand, in the complementary case $r \in (q, p)$ with $r < q(N-1)/(N-q)$ if $q

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参数边界条件下（p，q，r）-拉普拉斯算子的特征值

“考虑在有界域$\Omega\subet\mathbb｛R｝^N$，$N\ge 2$中，具有光滑边界$\partial \Omega$的下列非线性特征值问题\beart｛方程*｝\left\｛\beart｝｛l｝-\sum_｛\alpha\in\｛p，q，R｝｝\rho_｛\aalpha}\Delta_^{r-2}u\\\mbox｛in｝~\Omega，\\[1mm]\big^{r-2}u~\ mbox｛on｝~\ partial \ Omega，\ end｛array｝\ right。\end{方程*}，其中$p，q，r\in（1，+\infty），~q0.$这样的三相问题是由数学物理中出现的一些模型引起的。如果$r\not\in（q，p），$，我们确定一个正数$\lambda_r$，使得上述问题的特征值集恰好是$\｛0\｝\cup（\lambda_r，+\infty）$。另一方面，在具有$r

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