Representations of closed quadratic forms associated with Stieltjes and inverse Stieltjes holomorphic families of linear relations

Abstract

In this paper holomorphic families of linear relations that belong to the Stieltjes or inverse Stieltjes class are studied. It is shown that in their domain of holomorphy \BbbC \setminus \BbbR + the values of Stieltjes and inverse Stieltjes families are, up to a rotation, maximal sectorial. This leads to a study of the associated closed sesquilinear forms and their representations. In particular, it is shown that the Stieltjes and inverse Stieltjes holomorphic families of linear relations are of type (B) in the sense of Kato. These results are proved by using linear fractional transforms which connect these families to holomorphic functions that belong to a combined Nevanlinna-Schur class and a key tool then relies on a specific structure of contractive operators. Розглядаються голоморфнi сiм’ї лiнiйних вiдношень, якi належать до класу Стiлтьєса та оберненого класу Стiлтьєса. Показано, що в їхнiй областi голоморфностi \BbbC \setminus \BbbR + значення цих сiмей є, з точнiстю до обертання, максимальними секторiальними. Iз цим пов’язане дослiдження вiдповiдних замкнених пiвторалiнiйних форм та їхнiх представлень. Зокрема, показано, що стiлтьєсiвськi та оберненi стiлтьєсiвськi голоморфнi сiм’ї лiнiйних вiдношень належать до типу (В) у сенсi Като. Доведення базується на використаннi дробово-лiнiйних перетворень, якi переводять розглядуванi сiм’ї в голоморфнi функцiї класу Неванлiнни-Шура, псля чого використовується спецiальнi структури операторiв стиску.