Smooth affine group schemes over the dual numbers

Abstract

International audience We provide an equivalence between the category of affine, smooth group schemes over the ring of generalized dual numbers $k[I]$, and the category of extensions of the form $1 \to \text{Lie}(G, I) \to E \to G \to 1$ where G is an affine, smooth group scheme over k. Here k is an arbitrary commutative ring and $k[I] = k \oplus I$ with $I^2 = 0$. The equivalence is given by Weil restriction, and we provide a quasi-inverse which we call Weil extension. It is compatible with the exact structures and the $\mathbb{O}_k$-module stack structures on both categories. Our constructions rely on the use of the group algebra scheme of an affine group scheme; we introduce this object and establish its main properties. As an application, we establish a Dieudonné classification for smooth, commutative, unipotent group schemes over $k[I]$. Nous construisons une équivalence entre la catégorie des schémas en groupes affines et lisses sur l'anneau des nombres duaux généralisés k[I], et la catégorie des extensions de la forme 1 → Lie(G, I) → E → G → 1 où G est un schéma en groupes affine, lisse sur k. Ici k est un anneau commutatif arbitraire et k[I] = k ⊕ I avec I 2 = 0. L'équivalence est donnée par la restriction de Weil, et nous construisons un foncteur quasi-inverse explicite que nous appelons extension de Weil. Ces foncteurs sont compatibles avec les structures exactes et avec les structures de champs en O k-modules des deux catégories. Nos constructions s'appuient sur le schéma en algèbres de groupe d'un schéma en groupes affines, que nous introduisons et dont nous donnons les propriétés principales. En application, nous donnons une classification de Dieudonné pour les schémas en groupes commutatifs, lisses, unipotents sur k[I] lorsque k est un corps parfait.