Despliegue de curvas algebraicas en coordenadas baricéntricas

Abstract

Basados en el trabajo realizado por K. C. Hui y Z. H. Jiang (Hui y col., 1999) sobre el despliegue de superficies en coordenadas tetraédricas, se aplicaron las ideas básicas de ese artículo para desarrollar un algoritmo que permite el despliegue de curvas algebraicas en coordenadas baricéntricas. Con el algoritmo desarrollado se visualiza el segmento de curva contenida en el interior de un triángulo, cuyos vértices definen unas coordenadas baricéntricas del plano, desechando el resto del gráfico de la curva. Los sistemas de graficación estándar que tienen programas como Maple, MatLab, Mathematica, etc., grafican curvas implícitas en sistemas de coordenadas Cartesianas, incluso en coordenadas polares. Sin embargo, para el diseño de splines y otras curvas de CAGD (Computer Aided Geometric Design) es conveniente el despliegue de segmentos de curvas implícitas en coordenadas baricéntricas. El algoritmo desarrollado se resume de la siguiente forma: Dado un triángulo en el plano, se definen las coordenadas baricéntricas del mismo y se procede a refinar el triángulo en cientos de subtriángulos más pequeños. Este primer refinamiento sirve para evaluar la curva en los vértices de los subtriángulos y de acuerdo a ciertos criterios cada subtriángulo es clasificado. La clasificación inicial está definida en tres grupos: Triángulos-Semillas, Triángulos-Frutas y Triángulos-Nulos, estos últimos son la mayoría y se descartan porque no contienen partes de la curva. Los Triángulos-Semillas se utilizan para graficar la curva y los Triángulos-Frutas pasan a un proceso adicional de refinamiento y regresan a la rutina inicial de clasificación. Finalmente, con los subtriángulos clasificados como Triángulos-Semillas, se construye un segmento de recta en el interior del subtriángulo, con los puntos de corte de los lados del subtriángulo y la curva. Los puntos de corte se aproximan mediante un proceso simple de bisección. La unión de los segmentos de recta sirven para construir una aproximación del trazo de la curva