On finite 𝜎-tower groups

Abstract

Abstract In this paper, 𝐺 is a finite group and 𝜎 a partition of the set of all primes ℙ, that is, σ = { σ i ∣ i ∈ I } \sigma=\{\sigma_{i}\mid i\in I\} , where P = ⋃ i ∈ I σ i \mathbb{P}=\bigcup_{i\in I}\sigma_{i} and σ i ∩ σ j = ∅ \sigma_{i}\cap\sigma_{j}=\emptyset for all i ≠ j i\neq j . If 𝑛 is an integer, we write σ ⁢ ( n ) = { σ i ∣ σ i ∩ π ⁢ ( n ) ≠ ∅ } \sigma(n)=\{\sigma_{i}\mid\sigma_{i}\cap\pi(n)\neq\emptyset\} and σ ⁢ ( G ) = σ ⁢ ( | G | ) \sigma(G)=\sigma(\lvert G\rvert) . A group 𝐺 is said to be 𝜎-primary if 𝐺 is a σ i \sigma_{i} -group for some i = i ⁢ ( G ) i=i(G) and 𝜎-soluble if every chief factor of 𝐺 is 𝜎-primary. We say that 𝐺 is a 𝜎-tower group if either G = 1 G=1 or 𝐺 has a normal series 1 = G 0 < G 1 < ⋯ < G t - 1 < G t = G 1=G_{0}

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有限的𝜎-tower群

摘要:𝐺是一个有限群，而φ是所有素数集合的一个划分，即σ = { σ i∣i∈i } \sigma=｛\sigma＿{I}\mid I\in I｝，其中P =∈I σ I \mathbb{P}＝\bigcup＿{I\in I}\sigma＿{I} σ I∩σ j =∅ \sigma＿{I}\cap\sigma＿{j}＝\emptyset 对于所有I≠j I\neq J。如果𝑛是整数，我们写∑∑(n) = { σ I∣σ I∩π≠∅ } \sigma(n)=｛\sigma＿{I}\mid\sigma＿{I}\cap\pi(n)\neq\emptyset｝和σ ＿ (G) = σ ＿ (| G |) \sigma(g)=\sigma（\lvert g\rvert) ． 如果𝐺是σ i，则称群𝐺为𝜎-primary \sigma＿{I} -group对于i=i∑(G) i=i(G)和𝜎-soluble如果𝐺的每个主因子都是𝜎-primary。我们说𝐺是一个𝜎-tower群，如果G=1 G=1或𝐺有一个正规级数1= g0 < g1 <⋯< gt - 1 < gt = g1 =G＿{0}< g＿{1}<\cdots< g＿{t-1}< g＿{t}=G使得g1 / g1 - 1g＿{I}/ g＿{i-1} 是σ I \sigma＿{I} -group， σ i∈σ≠(G) \sigma＿{I}\in\sigma(G)， G/G i G/G＿{I} g1 - 1g＿{i-1} σ I ' \sigma＿{I}＾{\prime} -group for所有I =1，…，t I =1，\ldots，t。如果存在子群链A=A 0≤A 1≤⋯≤A t = G A=A＿，则称𝐺中的一个子群的变量为𝜎-subnormal{0}\leq a……{1}\leq\cdots\leq a……{t}=G使得A i - 1∑⊴∑A i a＿＿{i-1}\trianglelefteq a……{I} 或者A i / (A i - 1) A i A＿{I}/(a){i-1}){a……{I}} 是𝜎-primary对于所有I =1，…，t I =1，\ldots，t。在本文中，[A. N.]Skiba，关于有限群的𝜎-subnormal和𝜎-permutable子群，[j] .代数436(2015)，1 - 16，证明了一个𝜎-soluble群G≠1g\neq 1，∑∑(G) | = n \lvert\sigma(g)\rvert如果=n的每一个(n+1) (n+1)极大子群都是𝐺中的𝜎-subnormal，则=n是一个𝜎-tower群。

本文章由计算机程序翻译，如有差异，请以英文原文为准。