Linear complexity of Legendre-polynomial quotients

Abstract

We continue to investigate binary sequence $(f_u)$ over $\{0,1\}$ defined by $(-1)^{f_u}=\left(\frac{(u^w-u^{wp})/p}{p}\right)$ for integers $u\ge 0$, where $\left(\frac{\cdot}{p}\right)$ is the Legendre symbol and we restrict $\left(\frac{0}{p}\right)=1$. In an earlier work, the linear complexity of $(f_u)$ was determined for $w=p-1$ under the assumption of $2^{p-1}\not\equiv 1 \pmod {p^2}$. In this work, we give possible values on the linear complexity of $(f_u)$ for all $1\le w

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legende -多项式商的线性复杂度

我们继续研究由$(-1)^{f_u}=\left(\frac{(u^w-u^{wp})/p}{p}\right)$为整数$u\ge 0$定义的$\{0,1\}$上的二进制序列$(f_u)$，其中$\left(\frac{\cdot}{p}\right)$是Legendre符号，并且我们限制$\left(\frac{0}{p}\right)=1$。在较早的工作中，在$2^{p-1}\not\equiv 1 \pmod {p^2}$的假设下，确定了$w=p-1$的线性复杂度$(f_u)$。在这项工作中，我们给出了在相同条件下所有$1\le w

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