Joint Distribution in Residue Classes of the Base-q and Ostrowski Digital Sums

Abstract

Abstract Let q be an integer greater than or equal to 2, and let Sq(n)denote the sum of digits of n in base q.For α=[ 0;1,m¯ ],   m≥2, \alpha = \left[ {0;\overline {1,m} } \right],\,\,\,m \ge 2, let Sα(n) denote the sum of digits in the Ostrowski α-representation of n. Let m1,m2 ≥ 2 be integers with gcd(q-1,m1)=gcd(m,m2)=1 \gcd \left( {q - 1,{m_1}} \right) = \gcd \left( {m,{m_2}} \right) = 1 We prove that there exists δ> 0 such that for all integers r1,r2, | { 0≤n

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基-q和Ostrowski数字和的剩余类的联合分布

设q为大于或等于2的整数，设Sq(n)为进制q中n的位数之和。对于α=[0;1,m¯]，m≥2,\alpha = \left[ {0;\overline {1,m} } \right]，\，\，\，m \ge 2，设m1,m2≥2为整数，且gcd(q-1,m1)=gcd(m,m2)=1 \gcd\left ({q-1{,m1 }}\right)= \gcd\left ({m{,m2 }}\right)=1证明对于所有整数r1,r2， | {0≤n< n，存在δ>:Sq(n)≡r1(mod m1)， Sα(n)≡r2(mod m2)} |=Nm1m2+0(N1-δ)。\matrix{ {\left| {\left\{ {0 \le n < N:{S_q}(n) \equiv {r_1}\left( {\bmod \,{m_1}} \right),\,\,{S_\alpha }(n) \equiv {r_2}\left( {\bmod \,{m_2}} \right)} \right\}} \right|} \cr { = {N \over {{m_1}{m_2}}} + 0\left( {{N^{1 - \delta }}} \right).} \cr }由这个等式所隐含的渐近关系由Coquet, Rhin ＆ Toffin证明，并且在α=[1¯]\alpha = \left[ {\bar 1} \right]的情况下由Spiegelhofer证明。

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