Stochastic heat equation with general rough noise

Abstract

We study the well-posedness of a nonlinear one dimensional stochastic heat equation driven by Gaussian noise: ∂u ∂t = ∂ u ∂x2 + σ(u)Ẇ , where Ẇ is white in time and fractional in space with Hurst parameter H ∈ ( 1 4 , 1 2 ). In a recent paper [12] by Hu, Huang, Lê, Nualart and Tindel a technical and unusual condition of σ(0) = 0 was assumed which is critical in their approach. The main effort of this paper is to remove this condition. The idea is to work on a weighted space Z λ,T for some power decay weight λ(x) = cH(1 + |x| 2)H−1. In addition, when σ(u) = 1 we obtain the exact asympotics of the solution uadd(t, x) as t and x go to infinity. In particular, we find the exact growth of sup|x|≤L |uadd(t, x)| and the sharp growth rate for the Hölder coefficients, namely, sup|x|≤L |uadd(t,x+h)−uadd(t,x)| |h|β and sup|x|≤L |uadd(t+τ,x)−uadd(t,x)| τα . Abstract. Nous étudions une équation de chaleur stochastique á une dimension spatiale non linéaire entrânée par le bruit gaussien: ∂u ∂t = ∂ u ∂x2 + σ(u)Ẇ , où Ẇ est blanc dans le temps et fractionnaire dans le espace avec le paramètre Hurst H ∈ ( 1 4 , 1 2 ). Dans un article récent [12] par Hu, Huang, Lê, Nualart et Tindel une condition technique et inhabituelle de σ(0) = 0 a été supposé, ce qui est critique dans leur approche. Le principal effort de ce document est de supprimer cette condition. L’idée est de travailler sur un espace pondéré Z λ,T pour un certain poids de décroissance de puissance λ(x) = cH(1+|x|). Lorsque σ(u) = 1 nous obtenons les asympotiques exacts de la solution uadd(t, x) as t et x vont l’infini. En particulier, nous trouvons la croissance exacte de sup|x|≤L |uadd(t, x)| et la croissance exacte des coefficients de Hölder, c’est-àdire, sup|x|≤L |uadd(t,x+h)−uadd(t,x)| |h|β et sup|x|≤L |uadd(t+τ,x)−uadd(t,x)| τα . Nous étudions une équation de chaleur stochastique á une dimension spatiale non linéaire entrânée par le bruit gaussien: ∂u ∂t = ∂ u ∂x2 + σ(u)Ẇ , où Ẇ est blanc dans le temps et fractionnaire dans le espace avec le paramètre Hurst H ∈ ( 1 4 , 1 2 ). Dans un article récent [12] par Hu, Huang, Lê, Nualart et Tindel une condition technique et inhabituelle de σ(0) = 0 a été supposé, ce qui est critique dans leur approche. Le principal effort de ce document est de supprimer cette condition. L’idée est de travailler sur un espace pondéré Z λ,T pour un certain poids de décroissance de puissance λ(x) = cH(1+|x|). Lorsque σ(u) = 1 nous obtenons les asympotiques exacts de la solution uadd(t, x) as t et x vont l’infini. En particulier, nous trouvons la croissance exacte de sup|x|≤L |uadd(t, x)| et la croissance exacte des coefficients de Hölder, c’est-àdire, sup|x|≤L |uadd(t,x+h)−uadd(t,x)| |h|β et sup|x|≤L |uadd(t+τ,x)−uadd(t,x)| τα .