On Chern's proof of Baum–Bott's theorem

Abstract

In [2] Chern proved, through methods of differential geometry, the Baum–Bott theorem in the non-degenerate case, that is, for one-dimensional holomorphic foliations whose singular set consists of isolated points and such that, in a neighborhood of such a point, any vector field defining the foliation has linear part with non-zero eigenvalues at the point in question. In this Note we show that, by slightly modifying Chern's proof, we can prove Baum–Bott's result as stated in [1], hence without the “non-degenerate” assumption.

Dans [2] Chern a démontré, en n'utilisant que des méthodes de géometrie différentielle, le théorème de Baum–Bott dans le cas non dégénérée, c'est-à-dire, pour les feuilletages holomorphes de dimension un avec points singuliers isolées et tells que, au voisinage d'un tel point, un champ définissant le feuilletage admet une partie linéaire avec toutes ses valeurs propres non nulles au point en question. Le but de cette Note est de montrer que la preuve donnée par Chern peut être un peu modifiée, de façon a obtenir le résultat de Baum–Bott dans [1], où l'hypothèse «non dégénérée » n'intervient pas.