О регулярных тканях, определенных плюригармоническими функциями

Abstract

Как известно, функция двух переменных z=f(x, y) задает на плоскости (x, y) в окрестности регулярной точки некоторую три-ткань, образованную слоениями x=const, y=const и f(x, y)=const. Три-ткань называется регулярной, если она эквивалентна (локально диффеоморфна) три-ткани, образованной тремя семействами параллельных прямых. В этом случае уравнение ткани имеет вид $z=f\left(\alpha(x)+\beta(y)\right)$. В одной из работ авторов этой статьи были найдены все регулярные три-ткани, определяемые некоторыми известными уравнениями в частных производных, в частности, определяемые гармоническими функциями. В настоящей работе результаты обобщаются для плюригармонических функций вида u=f(x_1, ...., x_r, y_1, ... , y_r). Во-первых, функция такого вида определяет на многообразии размерности 2r  (2r + 1)-ткань, образованную слоениями коразмерности 1 вида x_i=const, y_i=const, i=1, 2, ..., r и u=const. (2r + 1)-ткань называется регулярной, если в некоторых локальных координатах ее уравнение может быть записано в виде $$  u=f\left(\varphi_1(x_1)+\ldots + \varphi_1(x_r)+\psi_1(y_1)+\ldots +\psi_r( y_r)\right). $$ В этой статье мы находим все плюригармонические функции, задающие регулярные (2r + 1)-ткани (теорема 1). С другой стороны, каждая плюригармоническая функция u=f(x_1,..., x_r, y_1, ... , y_r) определяет на 2r-мерном многообразии три-ткань W(r,r,2r-1), образованную двумя r-мерными слоениями x_i=const и y_i=const и слоением u=const коразмерности 1. Эта ткань называется регулярной, если в некоторых локальных координатах ее уравнение может быть записано в виде $$ u=f\left(\varphi(x_1, x_2,\ldots, x_r)+\psi(y_1, y_2,\ldots, y_r)\right). $$ В этой работе найдены все плюригармонические функции, определяющие регулярные три-ткани W(r,r,2r-1) (теорема 2)