Formulas for Calculating the Deflections of a Triangular Truss of Spatial Cover

Постановка задачи. Предлагается схема треугольного в плане покрытия купольного типа. Конструкция статически определимая. Вывод формул зависимости прогиба от числа панелей и размеров производится обобщением серии отдельных решений методом индукции. Материалы и методы. Усилия в стержнях покрытия находятся методом вырезания узлов в символьной форме с использованием операторов системы символьной математики Maple . В число неизвестных системы уравнений равновесия в проекциях на оси координат входят и реакции вертикальных опор, расположенных по сторонам фермы. Один из углов фермы имеет также сферическую опору, один - цилиндрическую. Для вычисления прогиба вершины используется формула Максвелла - Мора. Анализ последовательностей коэффициентов в решениях для отдельных ферм с различным числом панелей дает выражения для общих членов, входящих в искомую расчетную формулу. Результаты. Получены формулы зависимости прогибов фермы от числа панелей для вертикальной, равномерно распределенной по узлам фермы, нагрузки и горизонтальной ветровой нагрузки, приложенной к одной из сторон сооружения. Решения имеют простую полиномиальную форму. Кривые зависимости горизонтального смещения вершины купола от числа панелей обнаруживают минимум. Найдены асимптотики решений. Выводы. Разработана схема статически определимого симметричного пространственного купола и построена его математическая модель, допускающая аналитические решения при произвольном числе панелей. Найденные зависимости могут быть использованы как для оценки точности численных решений, так и для поиска оптимальных по жесткости сочетаний размеров конструкции. Statement of the problem. The scheme of triangular in terms of dome type cover is proposed. The construction is statically determinate. The formulas for the dependence of the deflection on the number of panels and sizes are derived by generalizing a series of individual solutions by induction. Materials and methods. The forces in the coating rods are performed by cutting nodes in symbolic form using operators of the Maple symbolic mathematics system. The unknown systems of equilibrium equations in projections on the coordinate axis include the reactions of vertical supports located on the sides of the truss. One of the corners of the truss also has a spherical support, one is cylindrical. The Maxwell-Mohr formula is used to calculate the deflection of the vertex. The analysis of sequences of coefficients in solutions for individual trusses with different numbers of panels yields expressions for common terms included in the desired calculation formula. Results. Formulas for the dependence of the deflections of the truss on the number of panels for a vertical load evenly distributed over the nodes of the truss and a horizontal wind load applied to one of the sides of the structure are obtained. The solutions have a simple polynomial form. The curves of the dependence of the horizontal displacement of the dome top on the number of panels reveal a minimum. Asymptotics of the solutions is identified. Conclusions. A scheme of a statically determinate symmetric spatial dome is developed and its mathematical model is constructed, allowing analytical solutions with an arbitrary number of panels. The identified dependencies can be used both to evaluate the accuracy of numerical solutions and to find optimal combinations of structural dimensions in terms of rigidity.