Groupes de Coxeter finis: involutions et cubes

Le texte qui suit passe en revue les propriétés des groupes de Coxeter finis qui sont les plus utiles pour la compréhension de leurs invariants cohomologiques, au sens de [Se 03]. La plupart de ces propriétés se trouvent déjà dans la littérature (par exemple [Bo 68], [Ca 72], [Sp 74], [Sp 82], [Hu 90], [Ka 01], [DPR 13]), mais il a paru commode de les rassembler de façon systématique, et de les compléter sur quelques points. Il s’agit surtout des involutions (§2), car ce sont leurs classes de conjugaison qui paramètrent de façon naturelle les invariants cohomologiques du groupe, cf. [Se 18]. Elles interviennent le plus souvent par l’intermédiaire des sous-groupes appelés “cubes” : sous-groupes abéliens engendrés par des réflexions (§4). Ces groupes jouent un rôle analogue à celui des groupes de Sylow, cf. par exemple th.4.16. Leur intérêt pour la détermination des invariants cohomologiques provient du “splitting principle” : sous certaines conditions techniques, un invariant cohomologique est nul si ses restrictions à tous les cubes sont nulles, cf. [Se 03], [Hi 10], [Se 18], [Hi 20], [GH 21]. Le §5 décrit les différents types de groupes irréductibles, en insistant sur les propriétés de leurs involutions et de leurs cubes, notamment pour les types Bn, Dn, E7 et E8. Il contient aussi une liste d’inclusions entre différents types qui se révèle utile pour prouver certains cas du “splitting principle”, comme nous le montrerons ailleurs. Le §6 est consacré à la construction, et aux propriétés, de certains groupes de Coxeter de rang 4, notamment ceux de type F4 et H4, cf. th.6.12.