La determinazione del fair value di opzioni su valuta impiegando funzioni a base radiale: un’applicazione al framework di pricing di Garman-Kohlhagen

Al fine di valorizzare opzioni su valuta si ricorre tendenzialmente al framework di pricing di Garman – Kohlhagen, che costituisce un’estensione di quello tradizionale di Black-Scholes-Merton. Tali modelli di valutazione hanno in comune la definizione di un’equazione alle derivate parziali rappresentativa, sotto alcune ipotesi, della possibile evoluzione futura del valore del derivato, nota come PDE fondamentale. La specifica del tipo di opzione avviene mediante la definizione delle condizioni iniziali (IC – Initial Conditions) e delle condizioni al contorno di Dirichlet del problema (BC – Boundary Conditions), che dipendono strettamente dal pay-off dell’opzione. Qualora questo sia semplice la PDE ammette una soluzione in forma chiusa, altrimenti è necessario ricorrere ad una metodologia numerica di pricing. La discretizzazione avviene tipicamente impiegando i metodi delle differenze finite (FDM – Finite Difference Method) o degli elementi finiti (FEM – Finite Elements Method). Negli ultimi anni l’ingegneria finanziaria si sta concentrando su una metodologia innovativa per la valorizzazione di opzioni, che pone i suoi fondamenti teorici sulle funzioni a base radiale (RBF – Radial Basis Functions). Il fine del presente studio è quello di presentare i principi di funzionamento di tale tecnica e di fornire, dopo aver condotto un’accurata validazione del codice, un esempio di applicazione nella valutazione di un’opzione esotica digitale scritta su valuta. Garman – Kohlhagen framework, which is an extension of the most popular Black-Scholes-Merton model, is often used by financial institutions in order to price options with a currency as underlying. These pricing techniques have in common the definition of a partial differential equation used for the definition of the future value of the derivative, called Fundamental PDE. The financial instruments characterization depends on the derivative pay-off and it is realized through the specification of the initial conditions (IC) and the Dirichlet’s boundary conditions (BC). For standard contracts, called plain-vanilla derivatives, and for a few class of non-standard instruments, called exotic derivatives, this problem can be solved analytically reaching a theoretical fair value through a closed formula (CF) valuation, otherwise a numerical method must be used. Classical numerical integration schemes, which have been implemented for this purpose, are Finite Difference Method (FDM) and Finite Elements Method (FEM). In the last ten years, financial engineering has focused on an innovative methodology for option pricing which has its foundations on Radial Basis Functions (RBF). This paper aims to examine how this technique works in the financial field and how this method can be applied to the fair-value determination of vanilla and exotic Forex options.