{"title":"用数值拟共形映射方法平滑边值问题解的非光滑性","authors":"M. Boichura, A. Bomba, O. Michuta","doi":"10.32626/2308-5916.2021-22.5-20","DOIUrl":null,"url":null,"abstract":"Сформульовано задачу моделювання руху частинок (заря-дів, рідини тощо) в однозв’язній чотирикутній криволінійній області, обмеженій гладкими двома лініями течії та двома ек-віпотенціальними лініями. При цьому, якщо останні «стику-ються» не під прямим кутом і відповідне середовище є ізотро-пним, то, згідно методу квазіконформних відображень, мати-муть місце сингулярності в околах рівно чотирьох точок гра-ниці. З метою уникнення даних особливостей, запропоновано підхід до апроксимації межі досліджуваної області (кубічними бісплайнами) із застосуванням спеціально розробленої проце-дури «фіктивної ортогоналізації». Сформульовано відповідну пряму та обернену задачі на квазіконформні відображення. При цьому, пропонуються (для порівняння) два способи фор-мування ортогональності на гладких ділянках границі (за до-помогою деяких «дво-» та «п’ятиточкової» схем; наведено ві-дповідні різницеві задачі та алгоритми їх розв’язання). Запро-поновано підхід до оцінки точності виконання властивостей квазіконформності, окремо обчислюючи усереднені нев’язку ортогональності та узагальнену нев’язку відношення довжин суміжних відрізків в малому. Проведено числові експерименти та здійснено їх аналіз. Зокрема, розподіли обох видів нев’язок і кількість вузлів, в яких мають місце особливості при різних розбиттях сіток, проілюстровано на графіках. Як і очікувалось, «фіктивна ортогоналізація» при достатньо «густій»дискрети-зації забезпечує можливість вирішення проблеми сингулярно-сті у точках «стику» граничних ліній течії та еквіпотенціаль-них ліній, сприяє підвищенню точності квазіконформних відо-бражень та збільшенню «прозорості» ходу розв’язання відпо-відної задачі. Також, як і очікувалось, «п’ятиточкова» схема «забезпечення ортогональності» на гладких лініях границі, по-казала більшу ефективність в порівнянні з «двоточковою».У якості перспективи подальшого застосування розробле-ної процедури «фіктивної ортогоналізації» описано механізм її адаптації на прикладі задач електричної томографії.","PeriodicalId":375537,"journal":{"name":"Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences","volume":"32 1","pages":"0"},"PeriodicalIF":0.0000,"publicationDate":"2021-11-26","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":"0","resultStr":"{\"title\":\"On an Approach to Smoothing the Nonsmoothness of Solutions of Boundary Value Problems Using Numerical Quasiconformal Mapping Methods\",\"authors\":\"M. Boichura, A. Bomba, O. Michuta\",\"doi\":\"10.32626/2308-5916.2021-22.5-20\",\"DOIUrl\":null,\"url\":null,\"abstract\":\"Сформульовано задачу моделювання руху частинок (заря-дів, рідини тощо) в однозв’язній чотирикутній криволінійній області, обмеженій гладкими двома лініями течії та двома ек-віпотенціальними лініями. При цьому, якщо останні «стику-ються» не під прямим кутом і відповідне середовище є ізотро-пним, то, згідно методу квазіконформних відображень, мати-муть місце сингулярності в околах рівно чотирьох точок гра-ниці. З метою уникнення даних особливостей, запропоновано підхід до апроксимації межі досліджуваної області (кубічними бісплайнами) із застосуванням спеціально розробленої проце-дури «фіктивної ортогоналізації». Сформульовано відповідну пряму та обернену задачі на квазіконформні відображення. При цьому, пропонуються (для порівняння) два способи фор-мування ортогональності на гладких ділянках границі (за до-помогою деяких «дво-» та «п’ятиточкової» схем; наведено ві-дповідні різницеві задачі та алгоритми їх розв’язання). Запро-поновано підхід до оцінки точності виконання властивостей квазіконформності, окремо обчислюючи усереднені нев’язку ортогональності та узагальнену нев’язку відношення довжин суміжних відрізків в малому. Проведено числові експерименти та здійснено їх аналіз. Зокрема, розподіли обох видів нев’язок і кількість вузлів, в яких мають місце особливості при різних розбиттях сіток, проілюстровано на графіках. Як і очікувалось, «фіктивна ортогоналізація» при достатньо «густій»дискрети-зації забезпечує можливість вирішення проблеми сингулярно-сті у точках «стику» граничних ліній течії та еквіпотенціаль-них ліній, сприяє підвищенню точності квазіконформних відо-бражень та збільшенню «прозорості» ходу розв’язання відпо-відної задачі. Також, як і очікувалось, «п’ятиточкова» схема «забезпечення ортогональності» на гладких лініях границі, по-казала більшу ефективність в порівнянні з «двоточковою».У якості перспективи подальшого застосування розробле-ної процедури «фіктивної ортогоналізації» описано механізм її адаптації на прикладі задач електричної томографії.\",\"PeriodicalId\":375537,\"journal\":{\"name\":\"Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences\",\"volume\":\"32 1\",\"pages\":\"0\"},\"PeriodicalIF\":0.0000,\"publicationDate\":\"2021-11-26\",\"publicationTypes\":\"Journal Article\",\"fieldsOfStudy\":null,\"isOpenAccess\":false,\"openAccessPdf\":\"\",\"citationCount\":\"0\",\"resultStr\":null,\"platform\":\"Semanticscholar\",\"paperid\":null,\"PeriodicalName\":\"Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences\",\"FirstCategoryId\":\"1085\",\"ListUrlMain\":\"https://doi.org/10.32626/2308-5916.2021-22.5-20\",\"RegionNum\":0,\"RegionCategory\":null,\"ArticlePicture\":[],\"TitleCN\":null,\"AbstractTextCN\":null,\"PMCID\":null,\"EPubDate\":\"\",\"PubModel\":\"\",\"JCR\":\"\",\"JCRName\":\"\",\"Score\":null,\"Total\":0}","platform":"Semanticscholar","paperid":null,"PeriodicalName":"Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences","FirstCategoryId":"1085","ListUrlMain":"https://doi.org/10.32626/2308-5916.2021-22.5-20","RegionNum":0,"RegionCategory":null,"ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":null,"EPubDate":"","PubModel":"","JCR":"","JCRName":"","Score":null,"Total":0}
On an Approach to Smoothing the Nonsmoothness of Solutions of Boundary Value Problems Using Numerical Quasiconformal Mapping Methods
Сформульовано задачу моделювання руху частинок (заря-дів, рідини тощо) в однозв’язній чотирикутній криволінійній області, обмеженій гладкими двома лініями течії та двома ек-віпотенціальними лініями. При цьому, якщо останні «стику-ються» не під прямим кутом і відповідне середовище є ізотро-пним, то, згідно методу квазіконформних відображень, мати-муть місце сингулярності в околах рівно чотирьох точок гра-ниці. З метою уникнення даних особливостей, запропоновано підхід до апроксимації межі досліджуваної області (кубічними бісплайнами) із застосуванням спеціально розробленої проце-дури «фіктивної ортогоналізації». Сформульовано відповідну пряму та обернену задачі на квазіконформні відображення. При цьому, пропонуються (для порівняння) два способи фор-мування ортогональності на гладких ділянках границі (за до-помогою деяких «дво-» та «п’ятиточкової» схем; наведено ві-дповідні різницеві задачі та алгоритми їх розв’язання). Запро-поновано підхід до оцінки точності виконання властивостей квазіконформності, окремо обчислюючи усереднені нев’язку ортогональності та узагальнену нев’язку відношення довжин суміжних відрізків в малому. Проведено числові експерименти та здійснено їх аналіз. Зокрема, розподіли обох видів нев’язок і кількість вузлів, в яких мають місце особливості при різних розбиттях сіток, проілюстровано на графіках. Як і очікувалось, «фіктивна ортогоналізація» при достатньо «густій»дискрети-зації забезпечує можливість вирішення проблеми сингулярно-сті у точках «стику» граничних ліній течії та еквіпотенціаль-них ліній, сприяє підвищенню точності квазіконформних відо-бражень та збільшенню «прозорості» ходу розв’язання відпо-відної задачі. Також, як і очікувалось, «п’ятиточкова» схема «забезпечення ортогональності» на гладких лініях границі, по-казала більшу ефективність в порівнянні з «двоточковою».У якості перспективи подальшого застосування розробле-ної процедури «фіктивної ортогоналізації» описано механізм її адаптації на прикладі задач електричної томографії.