允許相容完整左不變度量的非archimedean拋光群上的階級結構

The Journal of Symbolic Logic Pub Date : 2024-02-06 DOI:10.1017/jsl.2024.7

LONGYUN DING, XU WANG

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摘要

在这篇文章中，我们介绍了一类非archimedean波兰群的层次结构，它们承认一个兼容的完全左不变度量。我们用 $\alpha $-CLI 和 L-$\alpha $-CLI 表示这个层次，其中 $\alpha $ 是一个可数序号。我们建立了三个结果：（1）如果 $G=\{1_G\}$ 是 $0$-CLI，则 G 是 $0$-CLI；（2）如果 G 允许一个兼容的完整双面不变度量，则 G 是 $1$-CLI；（3）如果 G 是局部 $\alpha $-CLI，即 G 包含一个开放子群，而这个开放子群在 G 的局部是 $\alpha $-CLI，则 G 是 L-$\alpha $-CLI、随后，我们通过为$\alpha <\omega _1$构造非拱顶的CLI波兰群$G_\alpha $和$H_\alpha $来证明这个层次结构是合适的，这样的话：(1) $H_\alpha $ 是 $\alpha $-CLI 但不是 L-$\beta $-CLI for $\beta <\alpha $；(2) $G_\alpha $ 是 $(\alpha +1)$-CLI 但不是 L-$\alpha $-CLI。

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A HIERARCHY ON NON-ARCHIMEDEAN POLISH GROUPS ADMITTING A COMPATIBLE COMPLETE LEFT-INVARIANT METRIC

In this article, we introduce a hierarchy on the class of non-archimedean Polish groups that admit a compatible complete left-invariant metric. We denote this hierarchy by $\alpha $-CLI and L-$\alpha $-CLI where $\alpha $ is a countable ordinal. We establish three results:

(1) G is $0$-CLI iff $G=\{1_G\}$;
(2) G is $1$-CLI iff G admits a compatible complete two-sided invariant metric; and
(3) G is L-$\alpha $-CLI iff G is locally $\alpha $-CLI, i.e., G contains an open subgroup that is $\alpha $-CLI.

Subsequently, we show this hierarchy is proper by constructing non-archimedean CLI Polish groups $G_\alpha $ and $H_\alpha $ for $\alpha <\omega _1$, such that: