坎托定理对有限分区可能失效

The Journal of Symbolic Logic Pub Date : 2024-04-03 DOI:10.1017/jsl.2024.24

GUOZHEN SHEN

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摘要

如果一个分区的所有成员都是有限的，那么这个分区就是有限分区。对于一个集合 A，$\mathscr {B}(A)$ 表示 A 的所有有限分割的集合。与 $\mathsf {ZF}$ 一致（没有选择公理），我们证明了存在一个无限集合 A 和一个从 A 到 $\mathscr {B}(A)$ 的投射。另一方面，我们在 $mathsf {ZF}$ 中证明了关于无限集 A 的 $\mathscr {B}(A)$ 的一些定理，其中包括以下定理：(1) 如果A有一个无单子块的有限分割，那么就不存在从A到$\mathscr {B}(A)$ 的投射，也不存在从$\mathscr {B}(A)$ 到A的有限到一的函数。(2) 对于所有 $n\in \omega $，$|A^n|<|\mathscr {B}(A)|$. (3) $|\mathscr {B}(A)|\neq |\mathrm {seq}(A)|$, 其中 $\mathrm {seq}(A)$ 是 A 元素的所有有限序列的集合。

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CANTOR’S THEOREM MAY FAIL FOR FINITARY PARTITIONS

A partition is finitary if all its members are finite. For a set A, $\mathscr {B}(A)$ denotes the set of all finitary partitions of A. It is shown consistent with $\mathsf {ZF}$ (without the axiom of choice) that there exist an infinite set A and a surjection from A onto $\mathscr {B}(A)$. On the other hand, we prove in $\mathsf {ZF}$ some theorems concerning $\mathscr {B}(A)$ for infinite sets A, among which are the following:

(1) If there is a finitary partition of A without singleton blocks, then there are no surjections from A onto $\mathscr {B}(A)$ and no finite-to-one functions from $\mathscr {B}(A)$ to A.
(2) For all $n\in \omega $, $|A^n|<|\mathscr {B}(A)|$.
(3) $|\mathscr {B}(A)|\neq |\mathrm {seq}(A)|$, where $\mathrm {seq}(A)$ is the set of all finite sequences of elements of A.