几何和算术平均值的不等式

Indagationes Mathematicae (Proceedings) Pub Date : 1988-12-19 DOI:10.1016/S1385-7258(88)80016-7

Horst Alzer

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摘要

我们将Gn和An（或G′n和A′n）称为数字h1，，khn（或1−h1，1−khn），hie[0,1/2]，i=1，…的未加权几何和算术平均值，。。。，n.本注释的目的是尽可能最好地估计上下两个差异An/An'−Gn/Gn’和（An−An'）−（Gn−Gn’）。我们将确定不等式（*）0≤An’−Gn/Gn’≤（n−1）/（n+1）和0≤（An−An’）−（Gn−Gn’）≤2（1−n）/n−1/n对所有khie[0,1/2]，i=1，…的有效性，。。。，n、证明并证明所示限值无法拧紧。（*）的左边是著名的Ky Fan不等式。

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Ungleichungen für geometrische und arithmetische Mittelwerte

Wir bezeichnen mit G_n und A_n (bzw. G′_n und A′_n) das ungewichtete geometrische und arithmetische Mittel der Zahlen χ₁,,χ_n (bzw. 1−χ₁,,1−χ_n), χ_iε[0,1/2], i=1,...,n. Das Ziel dieser Note ist es, die beiden Differenzen $A_{n} / A_{n}^{'} - G_{n} / G_{n}^{'} u n d (A_{n} - A_{n}^{'}) - (G_{n} - G_{n}^{'})$ bestmöglich nach oben und nach unten abzuschätzen. Wir werden die Gültigkeit der Ungleichungen $(*) 0 \leq A_{n} / A_{n}^{'} - G_{n} / G_{n}^{'} \leq (n - 1) / (n + 1)$ und $0 \leq (A_{n} - A_{n}^{'}) - (G_{n} - G_{n}^{'}) \leq 2^{(1 - n) / n} - 1 / n$ für alle χ_iε[0,1/2], i=1,...,n, nachweisen und zeigen, daß sich die angegebenen Schranken nicht verschärfen lassen. Bei der linken Seite von (*) handelt es sich um die bekannte Ungleichung von Ky Fan.

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