Eichler-Shimura relations and semisimplicity of étale cohomology of quaternionic Shimura varieties

we show that the non CM part of `-adic étale cohomology of any compact quaternionic Shimura variety with coefficients in any automorphic local system is a semisimple Galois representation. If the local system has weight k = (k1, . . . , kd) with all ki of the same parity, the full `-adic étale cohomology is semisimple. For Hilbert modular varieties, analogous results are proved for `-adic intersection cohomology of the Baily-Borel compactification. The proof combines a representation-theoretical criterion of semisimplicity with Eichler-Shimura relations for partial Frobenius morphisms. Résumé : on montre que l’action galoisienne sur la partie sans multiplication complexe de la cohomologie étale d’un faisceau `-adique lisse automorphe sur une variété de Shimura quaternionique compacte est semisimple. Si le poids du faisceau s’écrit k = (k1, . . . , kd), où les ki ont la même parité, toute la cohomologie étale est semi-simple. Les mêmes résultats sont montrés pour la cohomologie d’intersection `-adique de la compactification de Baily-Borel des variétés modulaires de Hilbert. La preuve utilise un critère abstrait de semi-simplicité et les relations d’Eichler-Shimura pour les morphismes de Frobenius partiels.