OVERCONVERGENT MODULAR SYMBOLS AND p-ADIC L-FUNCTIONS

Cet article est une exploration constructive des rapports entre les symboles modulaires classiques et les symboles modulaires p-adiques surconvergents. Plus precisement, nous donnons une preuve constructive d'un theoreme de controle (Theoreme 1.1) du deuxieme auteur [19] ; ce theoreme demontre l'existence et l'unicite des « liftings propres » des symboles propres modulaires classiques de pente non-critique. Comme application, nous decrivons un algorithme en temps polynomial pour le calcul explicite des fonctions L p-adiques associees dans ce cas-la. Dans le cas de pente critique, le theoreme de controle echoue toujours a produire des « liftings propres » (voir Theoreme 5.14 et [16] pour un succedane), mais l'algorithme « reussit » neanmoins a produire des fonctions L p-adiques. Dans les deux dernieres sections, nous presentons des donnees numeriques pour plusieurs exemples de pente critique et examinons le polygone de Newton des fonctions L p-adiques associees.