Sur une forme nouvelle en cascade du terme aux limites de la variation d’une intégrale multiple

Abstract

L’expression générale de la variation première d’une intégrale n-uple, a été établie par Th. De Donder. Nous montrons ici que le terme aux limites peut être mis sous la forme d’une somme d’intégrales, étendues à des variétés frontières d’ordre successivement décroissant : n — 1, n — 2, ... jusque éventuellement, zéro. Pour atteindre ce but, nous introduisons les notions nouvelles de dérivées variationnelles d’indice supérieur, par un prolongement de la méthode classique des intégrations par parties, et de dérivées variationnelles mixtes, par la considération des suites d’indices à valeurs numériques distinctes deux à deux. Au point de vue des applications, la forme obtenue est appropriée à la recherche des extrémales soumises à des conditions aux limites se présentant ainsi en cascade, et exprimables au moyen des coordonnées curvilignes choisies par nous, comme variables indépendantes. F.-H. van den Dungen a déjà signalé l’existence de problèmes de ce type en Acoustique (Vibrations transversales d’une membrane raidie par des fils, dont certains points sont maintenus à l’extrémité de ressorts). Nos équations contiennent en particulier les conditions aux limites de Kirchhoff, pour l’étude de la plaque plane rectangulaire.